∀ Logique

Logique propositionnelle et des prédicats, quantificateurs, λ-calcul, composition à la Montague, intensionnalité, événements et dynamique.

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Logique propositionnelle et conditions de vérité M

La sémantique formelle vériconditionnelle (Frege, Tarski, Davidson, Montague) soutient que connaître le sens d'une phrase, c'est connaître les conditions dans lesquelles elle est vraie. On commence par la logique propositionnelle : des propositions atomiques (p, q) combinées par des connecteurs : négation (¬), conjonction (∧), disjonction (∨), implication matérielle (→), équivalence (↔). Leur sens est donné par des tables de vérité : p ∧ q est vraie seulement si p et q le sont ; p → q est fausse seulement si p est vraie et q fausse.

Ces connecteurs s'écartent parfois des mots naturels : le « ou » du français est souvent exclusif (« fromage ou dessert ») alors que ∨ est inclusif ; ce que le « ou » communique en plus est expliqué par une implicature (Grice) plutôt que par le sens. Le « si… alors » ordinaire diffère de l'implication matérielle : « Si 2+2=5, alors la Lune est en fromage » est vraie en logique, ce qui choque. Les conditionnels sont analysés par des mondes possibles (Stalnaker, Lewis).

Notions : tautologie (toujours vraie), contradiction (toujours fausse), équivalence logique (mêmes valeurs de vérité), conséquence logique (si les prémisses sont vraies, la conclusion l'est). Lois de De Morgan : ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q ; ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q. On les illustre par « Il n'est pas à la fois grand et fort » ≡ « Il n'est pas grand ou il n'est pas fort ».

La logique propositionnelle ne rend pas compte de la structure interne des phrases (sujets, prédicats, quantificateurs) ; d'où la logique des prédicats. Cette formalisation vise la précision et la vérifiabilité : une analyse sémantique est un modèle testable.

À retenir

Logique des prédicats et quantificateurs M

La logique du premier ordre introduit des constantes (noms propres : m pour Marie), des prédicats (dort(x), aime(x,y)), des variables et des quantificateurs : ∀ (universel : tous) et ∃ (existentiel : au moins un). « Marie dort » : dort(m). « Tout étudiant dort » : ∀x (étudiant(x) → dort(x)). « Un étudiant dort » : ∃x (étudiant(x) ∧ dort(x)). Notez que l'universel se combine avec l'implication, l'existentiel avec la conjonction.

Les négations de quantifieurs sont duales : ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) et ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). « Tous les étudiants n'ont pas réussi » peut signifier ¬∀ (certains ont échoué) ou ∀¬ (aucun n'a réussi) : l'ambiguïté de portée. Avec deux quantificateurs : « Chaque étudiant a lu un livre » : ∀x ∃y (lire(x,y)) (un livre par étudiant) ou ∃y ∀x (lire(x,y)) (un livre commun) ; ces lectures ne sont pas équivalentes (la seconde implique la première).

Les langues naturelles ont plus de déterminants que ∀ et ∃. La théorie des quantificateurs généralisés (Barwise et Cooper, 1981) traite « la plupart », « peu », « au moins trois » comme des relations entre ensembles (le déterminant relie le nom et le verbe). Propriétés : monotonie (« tous » est monotone croissant à droite : si tous les étudiants courent vite, tous courent) et la conservativité (Q(A,B) ssi Q(A, A∩B)), qui semble universelle pour les déterminants des langues.

Sur la définitude, Russell (1905) analyse « le roi de France est chauve » comme existence + unicité + prédication ; Strawson y voit une présupposition. Ce débat sépare deux traitements du contenu non asserté.

À retenir

λ-calcul et composition M

Pour calculer le sens d'une phrase à partir de celui de ses parties (compositionnalité), la sémantique formelle utilise le λ-calcul. L'expression λx. dort(x) désigne la fonction qui, à un individu x, associe la vérité de « x dort ». L'application fonctionnelle (β-réduction) substitue l'argument : (λx. dort(x))(m) ⇒ dort(m). Un verbe transitif est une fonction à deux arguments : aime = λy. λx. aime(x, y), appliquée d'abord à l'objet, puis au sujet.

On associe à chaque règle de syntaxe une règle sémantique. Pour « Marie aime Paul » : [aime] = λy.λx. aime(x,y) ; [aime Paul] = (λy.λx. aime(x,y))(p) = λx. aime(x,p) ; [Marie aime Paul] = aime(m,p). Les types sémantiques (e pour entités, t pour valeurs de vérité) typent les expressions : un nom propre est de type e, un prédicat intransitif ⟨e,t⟩, un verbe transitif ⟨e,⟨e,t⟩⟩, un déterminant ⟨⟨e,t⟩,⟨⟨e,t⟩,t⟩⟩. Le SN quantifié « tout étudiant » est de type ⟨⟨e,t⟩,t⟩ (λP. ∀x (étudiant(x) → P(x))).

Montague (1970-1973) propose de traiter les fragments de langue naturelle avec la même rigueur que les langages logiques : « English as a formal language ». Les conflits entre syntaxe et sémantique (un SN quantifié en position d'objet est de type ⟨⟨e,t⟩,t⟩ alors que le verbe attend un individu de type e) sont résolus par le changement de type ou par le déplacement (Quantifier Raising, May), qui produit les lectures de portée.

Ce cadre est la base des analyses modernes (Heim et Kratzer, 1998) et d'applications en TAL (analyse sémantique, parsing sémantique, grammaires catégorielles).

À retenir

Intensionnalité, mondes possibles et modalité M

Les expressions ne se réduisent pas à leur extension (valeur de vérité, individu, ensemble). « Marie cherche une licorne » peut être vraie même s'il n'existe aucune licorne ; « Paul croit que la Terre est plate » ne devient pas vraie ou fausse selon la vérité de la subordonnée. Ce sont des contextes intensionnels (opaques) : on ne peut y remplacer librement des expressions coréférentes. Frege (Sinn) puis Carnap, Kripke et Montague expriment l'intension comme une fonction des mondes possibles (et des temps) vers des extensions.

Exemple : l'intension de « le président de la France » est la fonction qui associe à chaque monde (et temps) l'individu qui est président. « Vénus » et « l'étoile du soir » ont la même extension dans notre monde mais des intensions différentes, ce qui explique l'informativité de l'identité.

Les modaux (pouvoir, devoir) sont analysés par Kratzer comme des quantificateurs sur des mondes possibles restreints par une base modale (ce qui est connu : épistémique, ce qui est permis : déontique) : « Il doit être chez lui » ≈ dans tous les mondes compatibles avec ce que je sais, il est chez lui ; « Il peut venir » ≈ dans au moins un monde accessible. Les conditionnels (Lewis, Stalnaker) : « Si Paul était venu, Marie serait partie » est vrai si, dans les mondes les plus proches où Paul vient, Marie part.

Les attitudes propositionnelles (croire, savoir, vouloir) quantifient sur des mondes compatibles avec les croyances. Des problèmes subsistent (omniscience logique : si je crois P et que P implique Q, croirais-je Q ?), ce qui motive des raffinements (situations, sémantique hyperintensionnelle).

À retenir

Événements, rôles thématiques et temps M

Davidson (1967) propose d'analyser les phrases d'action en quantifiant sur des événements : « Marie a embrassé Paul à minuit » devient ∃e (embrasser(e) ∧ agent(e, m) ∧ patient(e, p) ∧ à-minuit(e)). Cette analyse explique l'implication entre « Marie a embrassé Paul à minuit » et « Marie a embrassé Paul » (suppression d'un adjoint) sans multiplier les arités de prédicat. Parsons (1990) étend l'idée avec des rôles thématiques comme prédicats séparés (agent, thème) : la sémantique néo-davidsonienne.

La structure événementielle explique l'aspect lexical : états (savoir), activités (courir), accomplissements (construire une maison : processus + état résultant), achèvements (atteindre le sommet). Le caractère télique (avec un point final) détermine la compatibilité avec « en une heure » (accomplissement) ou « pendant une heure » (activité). Krifka relie la télicité à des propriétés de l'objet (homomorphisme entre l'objet et l'événement : « manger une pomme » est télique, « manger des pommes » ne l'est pas).

Le temps est formalisé par Reichenbach (E, R, S) et par les logiques temporelles (Prior : opérateurs P et F ; Kamp et Reyle). Les intervalles (Dowty) rendent compte du progressif : « Marie traversait la rue » n'implique pas qu'elle l'ait traversée (paradoxe imperfectif).

Les pluriels et masses (Link) posent des problèmes spécifiques : lecture distributive (« Les enfants dorment »), collective (« Les enfants ont construit un radeau »), cumulative (« 300 enfants ont mangé 600 pommes »). On utilise des structures algébriques (semi-treillis) pour modéliser ces lectures.

À retenir

Dynamique du discours, anaphore et présupposition M

La logique classique traite mal l'anaphore intersententielle : « Un homme est entré. Il s'est assis. » La variable du pronom « il » ne peut être liée par le quantificateur de la phrase précédente en logique des prédicats ordinaire. Les sémantiques dynamiques (théorie des représentations du discours de Kamp, 1981 ; sémantique de la mise à jour de Heim, 1982 ; DPL de Groenendijk et Stokhof) définissent le sens d'une phrase comme son potentiel de changement de contexte : elle introduit des référents de discours que les phrases suivantes peuvent reprendre.

Le cas des donkey sentences (« Si un fermier possède un âne, il le bat ») montre que l'indéfini a une force universelle sous « si » : la DRT l'explique en traitant les indéfinis comme des introductions de variables liées par l'opérateur englobant. Les règles d'accessibilité déterminent quels référents peuvent être repris (sous une négation, un référent n'est pas accessible : « Marie n'a pas de voiture. *Elle est rouge. »).

La présupposition est traitée comme une condition sur le contexte : une phrase qui déclenche une présupposition exige que le contexte la contienne (ou qu'elle puisse être accommodée). Le problème de la projection : comment la présupposition d'une partie survit-elle sous les opérateurs (négation, conditionnel, question) ? Stalnaker, Heim, Karttunen proposent des solutions (filtrage, accommodation locale ou globale). « Si Paul a un frère, son frère est médecin » ne présuppose pas que Paul a un frère : l'antécédent filtre la présupposition.

Ces cadres fondent les analyses de la structure du discours (SDRT, Asher et Lascarides) où des relations rhétoriques (explication, narration, contraste) relient les unités.

À retenir

Sémantique formelle et expérimentation M

Longtemps fondée sur des jugements d'introspection, la sémantique formelle s'est ouverte à l'expérimentation : tâches de jugement de vérité, de lecture, suivi du regard, EEG. Exemple : les lectures des quantificateurs dans « Chaque étudiant a lu un livre » (portée inverse) sont plus coûteuses et moins préférées, ce qui montre que les lectures disponibles ne sont pas toutes également accessibles. Les implicatures scalaires (« certains » → « pas tous ») sont étudiées par des temps de réponse : la lecture « pragmatique » est plus lente que la lecture « logique » (Noveck, Bott).

La sémantique de corpus et la sémantique distributionnelle proposent des représentations différentes. Des travaux cherchent à combiner sémantique formelle et vecteurs (modèles compositionnels distributionnels, Baroni et Zamparelli ; catégories de Coecke, Sadrzadeh, Clark), ou à tester si les modèles de langue capturent la négation, la quantification, la logique (inférence en langage naturel, jeux de données comme SNLI et MNLI).

En informatique, la sémantique formelle intervient dans l'analyse sémantique (parsing en forme logique ou en requêtes), les bases de connaissances, la vérification et l'inférence textuelle (RTE). Les ontologies (OWL) emploient des logiques de description (fragments décidables du premier ordre).

Compétences à acquérir : manipuler des formules, passer du français à la forme logique, évaluer la validité d'une inférence, repérer les ambiguïtés de portée, critiquer des analyses (choix entre présupposition et implicature), concevoir une expérience qui départage deux analyses.

À retenir

Vocabulaire à retenir

Cinq questions pour t'entraîner

  1. Selon la sémantique vériconditionnelle, comprendre une phrase, c'est connaître…

    1. La manière dont on prononce chacun de ses sons
    2. L'origine historique des mots qui la composent
    3. Les conditions dans lesquelles elle serait vraie
    4. L'identité de la personne qui l'a prononcée

    Réponse : Les conditions dans lesquelles elle serait vraie. Frege, Tarski, Davidson puis Montague font du sens d'une phrase l'ensemble des situations qui la rendraient vraie, même si on ignore si elle l'est.

  2. Quel connecteur est faux seulement quand p est vrai et q faux ?

    1. L'implication matérielle p → q
    2. La conjonction p ∧ q, vraie si les deux sont vraies
    3. La disjonction p ∨ q, vraie si l'une au moins est vraie
    4. L'équivalence p ↔ q, vraie si les deux ont la même valeur

    Réponse : L'implication matérielle p → q. p → q n'est fausse que si le conséquent est faux alors que l'antécédent est vrai ; si p est faux, l'implication est vraie quelle que soit la valeur de q.

  3. Comment le ∨ logique se comporte-t-il ?

    1. Il se comporte exactement comme la conjonction ∧
    2. De façon exclusive : vrai si une seule des deux est vraie
    3. Il est toujours faux quelles que soient les valeurs de p et q
    4. De façon inclusive : vrai si l'une ou les deux sont vraies

    Réponse : De façon inclusive : vrai si l'une ou les deux sont vraies. Le « ou » du français est souvent compris comme exclusif (fromage ou dessert), mais c'est un effet d'implicature : sémantiquement, il est inclusif.

  4. D'après la loi de De Morgan, ¬(p ∧ q) équivaut à…

    1. ¬p ∧ ¬q : les deux sont fausses en même temps
    2. ¬p ∨ ¬q : au moins l'une des deux est fausse
    3. p ∨ q : au moins l'une des deux est vraie
    4. ¬p → q : si p est fausse alors q est vraie

    Réponse : ¬p ∨ ¬q : au moins l'une des deux est fausse. Nier une conjonction revient à dire qu'au moins un des membres est faux. Dualement, ¬(p ∨ q) équivaut à ¬p ∧ ¬q.

  5. Qu'est-ce qu'une tautologie en logique ?

    1. Une formule fausse dans toutes les situations possibles
    2. Une formule vraie dans toutes les situations possibles
    3. Une formule vraie dans certaines situations seulement
    4. Une implication dont la conclusion est toujours fausse

    Réponse : Une formule vraie dans toutes les situations possibles. « p ∨ ¬p » est une tautologie : elle ne dit rien sur le monde, elle est vraie par sa seule forme. À l'opposé, une contradiction est toujours fausse.

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